微积分——变量数学的开端，诞生于17世纪下半叶，绝不是偶然的，确有其历史的必然性。

经历了文艺复兴运动的欧洲，社会生产力得到空前的解放和提高。大量的实际问题推动着力学、天文学的发展。例如，航海事业需要确定船只在大海中的位置，就要求精确地测定地球的经纬度和制造准确的时钟，于是促进了对天体运动的深入研究；船舶的改进，必须探讨流体以及物体在流体中运动规律；而在战争中，要求炮弹打得准确，则导致弹道学或抛物体运动的研究。人们从大量这类课题的研究中，总结出力学的一些基本规律，诸如：开普勒（1571―1630）关于行星运动的定律；伽利略提出落体定律和惯性定律；牛顿总结出力学运动三大定律等。在各种各样力学运动的研究中，最基本的核心问题是两个：一是已知路程求速度；一是已知速度求路程。在等速运动的情况下，只用初等数学就可以解决这两个问题：速度=路程÷时间；路程=速度×时间。但是，十七世纪人们面对着种种变速运动，初等数学就无能为力了。速度成为变量，初等数学或常量数学无法描述变速运动中时间、位置和速度之间的复杂关系。这一矛盾要求数学研究突破常量的传统范围，寻求能够描述和研究变速运动的新工具——变量数学。微积分就是变量数学的基础内容。

早在古代数学中，就产生了微分和积分这两个概念的思想萌芽，形成两种基本的数学运算。两者分别地被人们加以研究和发展。

积分思想出现在求面积、体积等问题中，在古中国、古希腊、古巴比伦、古埃及的早期数学文献中都有涉及这类问题的思想和方法。古希腊的阿基米德（公元前287―212）用边数越来越多的正多边形去逼近圆的面积，称为“穷竭法”。中国魏晋时代的刘徽在其《九章算术注》（公元263年）中，对于计算圆面积提出了著名的“割圆术”，他解释说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”这些都是原始的积分思想。16世纪以后，欧洲数学家们仍沿用阿基米德的方法求面积、体积等问题，并不断加以改进。天文学家兼数学家开普勒的工作是这方面的典型。他注意到，酒商用来计算酒桶体积的方法很不精确，他努力探求计算体积的正确方法，写成《测量酒桶体积的新科学》一书，他的方法的精华就是用无穷多小元素之和来计算曲边形的面积或体积。这一方法为卡瓦列里（1598―1647）所发展，把曲线下的面积看成曲线下的纵坐标线之和。巴斯卡（1623―1662）进一步把“纵坐标线之和”发展为“无穷多个矩形之和”，这就很接近现代积分学了。而华里斯（1616―1703）等人得出了一些求面积的公式，实际上就是一些积分公式。

微分思想也在古代略见端倪，它是和求曲线的切线问题相联系的，这是数学家们历来所关注的另一类问题。光学研究中，由于透镜的设计需要运用折射定律、反射定律，就涉及切线、法线问题。这方面的研究吸引了笛卡儿、惠更斯、牛顿、莱布尼茨等人。而在运动学研究中，要确定运动物体在某一点的运动方向，就是求曲线上某一点的切线方向，这就需要求作切线。笛卡儿和费马（1601―1665）都把切线看作割线的特殊情况，即当两点重合时的情况。他们分别论述过求切线的方法，就是微分计算的雏形。

特别要提出的是，笛卡儿和费马关于解析几何的工作，正是从常量数学到变量数学的转折点，为微积分的产生提供了重要的数学前提和便利条件。因为他们有了变量概念，并把描述运动的函数关系与几何中的曲线问题统一起来了。从此，力学中关于求速度和求路程的两个基本问题，就可以分别转化为求切线和求面积的问题，这样就可以充分运用数学上长期积累的关于求切线和求面积成果。

对微分学和积分学分别做出过贡献的一大批数学家都没有关注两者的相互关系。有的人从特殊事例中看到两者的联系，却未加以重视。牛顿的老师巴罗（1630―1677）已看出求曲线的切线与求曲线下面积之间有互逆关系，但是他没有抓住这一关系进一步探究其中所包含的普遍性的联系。

牛顿和莱布尼茨的创造性贡献在于，他们明确地论述了微分和积分这两个概念或过程的内在的相互联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这正是建立微积分学的关键所在。他们正是这一重要联系的基础上建立起系统的微积分学，建立起有效地处理变量问题的一整套数学方法。

牛顿和莱布尼茨分别创建的微积分各有特色。首先，牛顿从力学或运动学的角度，从速度的变化问题开始。他把连续变化的量称为流量，把无限小的时间间隔叫做瞬；而流量的速度，也就是流量在无限小时间内的变化率，称为流数，用上面带点的字母x，y表示。牛顿建立了以流量、流数和瞬为基本概念的微积分学。而莱布尼茨从几何学的角度，从求切线问题开始，突出了切线概念。他研究了求曲线的切线问题和求曲线下的面积问题的相互联系，由此建立起微积分学。其次，牛顿作为物理学家，其工作方式是经验的、具体的和谨慎的，着力于将微积分成功地应用到许多实际问题，以证明微积分方法的价值。莱布尼茨身兼哲学家，他的工作和思想富于想像和大胆，更着重于把微积分从各种特殊问题中概括和提升出来，寻求普遍化和系统化的运算方法。第三，莱布尼茨在运用和创造符号方面，比牛顿更花费心思。他用d 表示差额（difference的第一个字母），微分表示为dx，dy，对 n 阶微分运用了符号dn；而用∫表示总和(sum的第一个字母的拉长)，即积分符号。人们公认，莱布尼茨的微积分符号简明方便，以致沿用至今。

马克思和恩格斯非常重视微积分的创建，恩格斯曾有这的赞誉：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样看作人类精神的最高胜利了。”