数学归纳法，自古以来就是数学中一种十分重要的常用的证明方法，人们可以从中领略数学思维的特点。

五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授（1908——1996）在给大学一年级学生讲高等数学课，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的极其生动的讲解，至今给我留下非常深刻的印象。他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：

某主妇养小鸡十只，公母各半。她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐。天天早晨她拿米喂鸡。到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃。”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了。这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了，虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃。

赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”。

接着他举出一个数学中的类似的例子：

设f(n)是一个与正整数有关的命题，

f(n)=(n-1)(n-2)(n-3)……(n-99)= 0

此式当n = 1，2，3，……99时都是成立的，即f(1)= 0，f(2)= 0，f(3)= 0，……f(99)= 0，而当n = 100时就不成立了，f(100)≠ 0，因为f(100)= 99·98·97·……·1

这个例子说明n=1，2，3，……99时命题都成立，但不能保证n=100时命题也成立。

用数学归纳法证明一个命题的正确性，必须要求两条：

（一）当n = 1时，这个命题是正确的；

（二）假设n = k 时，这个命题是正确的，那么当n = k+1时，这个命题也是正确的。

这两条是缺一不可的。

为什么缺一不可呢？

要知道，一个命题，那怕是验算了百次、千次、万次，也只是有限次，并不能肯定这个命题的普遍正确性。为了证明命题对于任何一个正整数n（n有无限多），都是正确的，必须满足数学归纳法所要求的第二条。公鸡归纳法这类例子就是缺了第二条。

同时，不要以为第一条看似简单就不屑一顾。缺了第一条的证明也是错误的，比如：

设有命题：n2=n2+1，

假设当n=k时命题成立，即 k2=k2+1，在此式两端各加2k+1，则有k2+2k+1=k2+1+2k+1，

亦即(k+1)2=(k+1)2+1

这表示，当n=k+1时，此命题也成立。

可是，当n=1时，左边是1，右边是2，命题显然不成立，因为1不等于2。这里虽然推演出了第二条，但不符合第一条，这个证明是错误的。可以看出，此式对任何正整数都是不成立的, 是一个荒谬的命题。

数学归纳法是我国中学数学的一项内容，为了加深对数学归纳法这一重要方法的理解和掌握，华罗庚先生（1910―1985）曾专门撰写过一本《数学归纳法》，作为中学生的数学课外读物。他首先指出，有了像

13+23+33+……+n3=[n(n+1)]2…………………………（1）这样的公式，用数学归纳法加以证明并不困难，问题是，这样一些公式是从哪里来的？难道是从天上掉下来的吗？当然不是！是有“天才”的人直观地看出来的吗？也不尽然。实际上，这些公式是人们从有限的事例中，也就是从有限的经验中摸索出来的一些规律，这些规律可能只在有限范围内具有普遍性，例如，某命题只在n≤99时是正确的；如果某些命题，例如上述的公式（1），能用数学归纳法给予证明，即对于任何一个n都是正确的，就有了具有无限性的普遍性。从这样的意义上说，数学归纳法正是体现了人的认识从有限到无限的飞跃。

为了强调数学归纳法的证明过程必须有（一）、（二）这样两个步骤，华罗庚先生在书中加重语气、重复地写道：“两者缺一不可！缺一不可！”

有人问：数学归纳法的第一条是不是可以改为“当n=1，2，3，……的时候，这个命题是正确的”？华先生的回答是：“这样的要求是多余的，同时也是不正确的。”之所以说是“多余”，是因为验证了n=1时的正确性就够了，没有必要还要对n=2和n=3再作验证；之所以说是“不正确”，则在于上述这句话中的“……”，如果是表示一直试下去都正确，那么试问到底要试到什么地步才算试完呢？何况，在没有证明第二条，即没有证明对所有的正整数n都是正确的以前，就说：“当n=1，2，3，……的时候，这个命题是正确的。”是不对的，是犯了逻辑上的错误。